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2019-08-24 click: 9473
0．引言
齒輪在工業生產生活中應用極為廣泛，隨（suí）著現代工業和科學技術的快速發展進步，齒輪震動，效（xiào）率壽命等指標越來越受到重視，對齒輪的精（jīng）度要求越來越高。齒輪測量過程中，測量儀器回轉工作台的（de）回轉軸線與齒輪的幾何中心很難重合[1~4]，這樣就產生了安（ān）裝偏心，導致齒輪的測量基準與（yǔ）齒輪製造基準或者齒輪使用基（jī）準的不一致，測（cè）量結果中帶有由（yóu）於工件安裝不準（zhǔn）確帶來（lái）的安（ān）裝誤（wù）差，從而不能準確（què）反應齒輪加工精度，所（suǒ）以正確采用誤差補償的方法消（xiāo）除安裝偏（piān）心產生的（de）齒（chǐ）形偏差具有重要意義。
齒輪測量中心上（shàng）的齒輪安裝誤差（chà）包括齒輪軸線相對於轉台（tái）軸（zhóu）線的平移誤差和傾斜誤差。其中，一（yī）般齒（chǐ）輪軸線（xiàn）的平移誤差稱為偏心，齒輪軸線的（de）傾斜誤差稱為偏擺。為了保證測（cè）量結果的精度需（xū）要消（xiāo）除由安裝引入的這兩（liǎng）項誤差帶來（lái）的誤差成分。研（yán）究解決這一難題有助於提升儀器的測量精度，進而提升國內的齒輪測量中心的（de）國際競爭力。針對齒輪安裝誤差中某些特定齒輪測量項的修正問題，不少文章提出了不同的解決辦法或模型，但未見在齒輪測量中心上得到（dào）很好的應用。本文依（yī）據坐標變（biàn）換原理提出了齒輪偏心測量模（mó）型，很好的解決（jué）了齒輪在偏（piān）心情況下的齒形測量（liàng）問題（tí）。隨著研究的深入，齒輪測（cè）量模型還可擴（kuò）展到齒距、齒向測量誤差修正過程中，可完全解決齒輪在測（cè）量過程中的安裝誤差問題。
1．補償安裝偏心的基本原理
齒輪測量中心在測量齒形過程中可以選擇多種測（cè）量方法對齒（chǐ）輪進行測（cè）量（liàng），而法向極坐標測量法因其測量（liàng）聯動軸數少及控製方式簡單的優點應用範圍最廣。法向（xiàng）極坐標測量法如圖1-1所示，該方法是根據齒輪齒廓的展成原理，規定漸開線的展長方向為測量方向（xiàng），將其轉化為展長長度測量。由漸開線的形（xíng）成原理可以知道，漸開線的法向極坐標方程（chéng）為：
式中：L為被測點的（de）展（zhǎn）開長度 
；為基圓半徑 
；為（wéi）被測點對（duì）應的展開角。
圖1-1 法向極（jí）坐標測量齒形
由於齒輪存在加工誤差，在用法向極坐標法測量時（shí），測頭一（yī）直保（bǎo）持隨基（jī）圓的切向X軸方向（xiàng）做直線運動（dòng），如圖1-1所示。但實際測量時測球（qiú）會隨著（zhe）齒麵誤差相對擺動（dòng），實際（jì）被測點測量展長與理論展長差值即為齒麵偏差。
齒輪測量是一個動態測量過程，即齒輪繞回轉中心O旋轉，測（cè）頭沿切（qiē）向X軸直線（xiàn）運動。由於安裝偏心，齒輪的幾何中心與回轉中心（xīn）O不（bú）重合如圖1-2（a）所示（shì），直接引起被測點基圓半徑的變化如（rú）圖1-2（b）所示，由公式(1)可知（zhī），實際測量展長隨著基圓半徑的變（biàn）化而（ér）變化，展長與展角（jiǎo）不再是線性關係。但在實際測量過程中，測量（liàng）動作保（bǎo）持不變，既而由測（cè）頭讀數直（zhí）接計算齒（chǐ）麵誤差，所得結果包含了安裝偏心引起的測量誤差，使得測量結果不夠準確。如圖1-2（b）所示，在沒有安裝偏心的情況下，被測點為A，安裝（zhuāng）偏（piān）心後測量點為 
，由（yóu）於受到（dào）安裝偏心的影響，所有測量點都發生改變。
首（shǒu）先（xiān）利用二維坐標變換原理，將實（shí）際（jì）坐標點回歸到（dào）在靜止狀態下齒輪漸開線（xiàn）的坐標位置,既而得到漸開線上所有被（bèi）測點（diǎn）坐標。安裝偏（piān）心補償為事後（hòu）補（bǔ）償，即已知齒輪水平偏心和偏擺，平移漸開線上所有被測點坐標消除（chú）水平偏心帶來的影響（xiǎng），然後在已（yǐ）知偏擺的情（qíng）況下（xià），利用三維坐標變換原理，去除水平偏心的所有被測點坐標進（jìn）行兩次坐標轉換，進一步得到去除偏擺的所有被測點坐標。以（yǐ）起測點（diǎn）為參考點，即齒麵誤差為（wéi）零，利用幾何關係式求解以起測點（diǎn）為準的理論漸開線上對應的被測點坐標，既（jì）而分別求出被測點理論（lùn）展長與實際展長，二者之差即為實際（jì）齒麵加工誤差。
圖1-2 齒輪安裝偏心數學模型
2. 安裝偏（piān）心齒輪測量（liàng）理論數學模型的建立
在測量過程中，轉台帶動齒輪旋轉（zhuǎn），同時齒輪（lún）測量中心控製測杆在X軸方向移動（dòng）一定距離，獲（huò）取工件在測（cè）量儀（yí）器坐標係下所有被測點的相對轉角值 
以及坐標點位置 
，通過二維坐（zuò）標變換原理，將齒輪在動態測量過程所有被測點坐標還原到齒輪靜止（zhǐ）狀（zhuàng）態下的坐標位置（zhì） 
，方程（chéng）表（biǎo）達式如下：
式中： 
為轉台旋轉角度（順時針方向為正）。
由於齒輪存在加工誤（wù）差，所（suǒ）得坐標點並非齒輪漸開線理論軌（guǐ）跡坐標點，所以（yǐ）需要通過實際被測點坐標建（jiàn）立直角坐標係下理論漸開線數（shù）學方程，如圖（tú）2-1所示（shì），令起測點 
為參考點建立理論漸（jiàn）開線（xiàn），記此點齒麵誤差（chà）為零，利用圓外一點的切線方程求得切點坐標 
，則起測點 
的展長可由起測點 
和切點 
得到，即（jí）：
進一步求得展角為
然（rán）後由幾何（hé）關係（xì）求得漸（jiàn）開線起始點（diǎn）坐（zuò）標 
，漸開線起點和切點坐標確定（dìng）後，利用餘弦定理求得起測點 
展（zhǎn）角為（wéi）：
則理（lǐ）論展長表（biǎo）達式如下：
實際（jì）展長表達式如下（xià）：
最終齒麵誤差為 
。
圖2-1 理論漸開線數學模（mó）型
同理求得（dé）齒麵所有被（bèi）測（cè）點齒麵誤（wù）差。
3.安裝偏心誤差修正
3.1水平偏心修正
偏心修正為（wéi）事後補（bǔ）償（cháng），即在已知齒輪測量截麵偏心（xīn）平移向量
前提下利用偏心修正數學模型去掉安裝偏心帶來的測量誤差成分，表達式如下：
3.2偏擺誤差（chà）修正
和
，可以（yǐ）求得空（kōng）間直線矢（shǐ）量的（de）方向餘弦
，其中
，利用三維坐標變換原理，將此空（kōng）間（jiān）直線做兩次（cì）旋轉即可保證與回轉軸線重合，可得當前被測點實際坐標（biāo）公式：
然後將去掉（diào）水平偏心和偏擺後的坐標位（wèi）置代入上述（shù）表（biǎo）達式中，最終（zhōng）求得（dé）實際齒麵誤差為：
4.測量（liàng）實驗
測量實（shí）驗采用模數為2.7459，齒數為24的標準（zhǔn）漸開線圓柱齒輪，齒（chǐ）輪的（de）齒形測量一般隻需測量四個近似等分點上的齒輪，以這四個齒輪（lún）的齒形誤差代替整個齒輪的齒形誤差。為了（le）做對比實驗，本文選用了一上下頂尖（jiān）定位的標準斜齒，實驗（yàn）前先（xiān）在（zài）齒輪上的一齒上做標記，以保（bǎo）證接下來的幾次測量都是測量同樣的齒麵。第一（yī）次測量時通過上下頂尖（jiān）安裝齒輪，可認為齒輪無安裝誤差（chà），測得齒形結果如圖4-1所示，第二次測量人工製（zhì）造安裝偏心誤（wù）差，測得齒形結果如圖4-2所示，第三次測量通過偏心（xīn）修正算法（fǎ）測量齒輪齒形，測得齒形結果如圖4-3所示（shì）。對同一齒輪同一齒麵三（sān）次測（cè）量測量結果對（duì）比，結（jié）果如表1所示。
重複測量5次，測量（liàng）各項誤差結果保（bǎo）證在（zài）±1μm以內，可以實現偏心修正功能，並（bìng）且測量結果穩定，精度和準（zhǔn）確度很高。
5.總結
本文提出了一種新穎的偏心（xīn）修正補償的測量（liàng）方法，有效的解決了安裝偏心降低齒輪測量結果精度的難題（tí），保證了（le）齒（chǐ）輪測（cè）量結果（guǒ）的準確度和精度。經過實際（jì）測試（shì）表明，該測量（liàng）方法正確可行（háng），測量結果穩定、準確。
參考文（wén）獻：
[1]宋承（chéng）誌. 大型齒輪測量中心齒輪安裝誤差補償技術研究[D].哈爾濱工業大學,2014.
[2]孫慧霖.漸（jiàn）開線圓柱齒輪測量誤（wù）差的分析與修正.哈爾濱理工大學,2012.
[3]郭（guō）敬濱，張大廈（xià），張繼成.大齒輪齒形測量中（zhōng）補償安裝偏心的理論分析.天津大學（xué）學報,2012.05.
[4]楊燕鴿.齒輪安裝偏心情況下（xià）在機測（cè）量方法的研究.西安工業（yè）大學,2012.
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